集合

1 定义

集合简称集, 是一个基本的数学模型, 指若干不同物件形成的总体.

集合里的物件称作元素, 它们可以是任何类型的数学对象: 数字、符号、变量、空间中的点、线、面, 甚至是其他集合.

若 $x$ 是集合 $A$ 的元素, 记作 $x\in A$. 不包含任何元素的集合称为空集($\varnothing$);只包含一个元素的集合称为单元素集合.

集合可以包含有限或无限个元素.

如果两个集合所包含的元素完全相同, 我们称这两个集合相等.

2 集合元素的特性

• 无序性: 一个集合中, 每个元素的地位都是相同的, 元素之间是无序的.

• 互异性: 一个集合中, 任何两个元素都认为是不相同的, 即每个元素只能出现一次.

• 确定性: 给定一个集合, 任给一个元素, 该元素或者属于或者不属于该集合, 二者必居其一, 不允许有模棱两可的情况出现.

3 常用数集

数集	意义	符号
自然数集 (或非负整数集)	全体非负整数组成的集合	$\mathbb{N}$
正整数集	全体正整数组成的集合	$\mathbb{N}^* 或 \mathbb{N}_+$
整数集	全体整数集组成的集合	$\mathbb{Z}$
有理数集	全体有理数组成的集合	$\mathbb{Q}$
实数集	全体实数组成的集合	$\mathbb{R}$

4 集合的表示方法

4.1 列举法

把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号 “{}” 括起来表示集合的方法叫列举法.

4.2 描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法, 称为描述法.

方法: 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值 (或变化) 范围, 再画一条竖线, 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征, 一般格式: ${x\in A|p(x)}$.

4.3 图示法

用平面上封闭曲线 (例如: 圆、矩形、椭圆等) 的内部表示集合的方法.

5 集合间的关系

5.1 子集与包含关系

5.1.1 定义

集合$A 、B$, 若 $\forall a\in A$, 有$a\in B\therefore A\subseteq B$. 则称$A$是$B$的子集, 亦称 $A$ 包含于$B$, 或 $B$ 包含 $A$, 记作 $A\subseteq B$或$B\supseteq A$, 否则称$A$ 不是 $B$的子集, 记作 $A\nsubseteq B$或$B\nsupseteq A$.

若$A\subseteq B$, 且$A\neq B$, 则称 $A$ 是 $B$ 的真子集, 亦称 $A$ 真包含于 $B$, 或 $B$ 真包含 $A$, 记作$A\subsetneqq B$或$B\supsetneqq A$(有时也记作 $A\subset B$ 或 $B\supset A$).

5.1.2 基本性质

包含关系 “$\subseteq$” 是集合间的一个非严格偏序关系, 因为它有如下性质:

• 自反性: $\forall S, S\subseteq S$;(任何集合都是其本身的子集)
• 反对称性: $A\subseteq B 且 B\subseteq A \Leftrightarrow A=B$;(这是证明两集合相等的常用手段之一)
• 传递性: $A\subseteq B 且 B\subseteq C\Rightarrow A\subseteq C$.

显然, 包含关系, 真包含关系定义了集合间的偏序关系. 而 $\varnothing$ 是这个偏序关系的最小元素, 即: $\forall$ 集合 $S$, $\varnothing \subseteq S$;且若 $S\neq \varnothing$, 则 $\varnothing\subsetneqq S$, (空集是任何集合的子集, 是任何非空集合的真子集).

6 集合的运算

6.1 并 ($\cup$)

两个集合可以相"加". $A$ 和 $B$ 的并集是将 $A$ 和 $B$ 的元素放到一起构成的新集合.

6.1.1 定义

给定集合 $A, B$, 定义运算$\cup$如下:

$$A\cup B=\{x|x\in A或x\in B\}$$

$A\cup B$称为$A$和$B$的并集.

6.1.2 示例

${1, 2}\cup {红色, 白色}={1, 2, 红色, 白色}$ ${1, 2, 绿色}\cup {红色, 白色, 绿色}={1, 2, 红色, 白色, 绿色}$ ${ 1, 2 }\cup { 1, 2 }= { 1, 2 }$

6.1.3 基本性质

作为集合间的二元运算, $\cup$ 运算具有以下性质.

• 交换律: $A\cup B=B\cup A$;
• 结合律: $(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)$;
• 幂等律: $A\cup A=A$;
• 单位元: $\forall A, A\cup\varnothing=A$; ($\varnothing$ 是 $\cup$ 运算的单位元).

6.2 交 ($\cap$)

一个新的集合也可以通过两个集合均有的元素来构造. $A$和$B$的交集, 写作$A\cap B$, 是既属于$A$的、又属于$B$的所有元素组成的集合.

若 $A\cap B=\varnothing$, 则 $A$ 和 $B$ 称作不相交.

6.2.1 定义

给定集合 $A、B$, 定义运算 $\cap$ 如下: $A\cap B={e|e\in A 且 e\in B}$. $A\cap B$ 称为 $A$ 和 $B$ 的交集.

6.2.2 基本性质

作为集合间的二元运算, $\cap$ 运算具有以下性质.

• 交换律: $A\cap B=B\cap A$;
• 结合律: $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$;
• 幂等律: $A\cap A=A$;
• 空集合: $\forall$ 集合 $A$, $A\cap\varnothing=\varnothing$; ($\varnothing$ 是 $\cap$ 运算的空集合).

其它性质还有:

• $A\subseteq B\Rightarrow A\cap B=A$

6.2.3 示例

${1, 2}\cap{ 红色, 白色 }=\varnothing$

${1, 2, 绿色 }\cap{ 红色, 白色, 绿色 }={绿色}$

${1, 2}\cap{1, 2}={1, 2}$

6.3 补集 ($\complement$)

在特定情况下, 所讨论的所有集合是一个给定的全集$U$的子集. 这样,$\complement_UA$称作$A$的绝对补集, 或简称补集.

补集可以看作两个集合相减, 有时也称作差集.

6.3.1 定义

对于一个集合 $A$, 由全集中不属于集合 $A$ 的所有元素组成的集合称为集合$A$相对于全集$U$的补集, 简称为集合$A$的补集, 记作$\complement_U A$, 即$\complement_U A={ x|x\in U 且 x \not\in A }$.