常用逻辑用语

1 充分条件与必要条件

1.1 定义

一般地, “若 $p$, 则 $q$“为真命题, 是指由 $p$ 通过推理可以得出 $q$. 这时, 我们就说, 由 $p$ 可以推出 $q$, 记作 $p\Rightarrow q$, 并且说, $p$ 是 $q$ 的充分条件, $q$ 是 $p$ 的必要条件.

如果"若 $p$, 则 $q$“和它的逆命题"若 $q$, 则 $p$“均是真命题, 即既有 $p\Rightarrow q$, 又有 $q\Rightarrow p$, 就记作 $p\Leftrightarrow q$, 此时 $p$ 即是 $q$ 的充分条件也是必要条件, 我们说 $p$ 是 $q$ 的充要条件.

1.1.1 从集合的角度理解充分条件与必要条件

命题 $p$、$q$ 对应集合 $A, B$.

若 $A\subseteq B$, 则 $p\Rightarrow q$, 即 $p$ 是 $q$ 的充分条件;

若 $A\nsubseteq B$,则 $p\nRightarrow q$, 即 $p$ 不是 $q$ 的充分条件，

2 全称量词

2.1 定义

短语"对所有的”、“对任意一个"在逻辑中通常称为全称量词，用”$\forall$“表示.

全称量词命题: 含有全称量词的命题称为全称量词命题. “对 $M$ 中任意一个 $x$, 有 $p(x)$ 成立”, 记作 “$\forall x\in M,p(x)$”

2.2 示例

对所有末位数是 0 的数能被 5 整除: $\forall x>0,x+\frac1x\geq2$.

3 存在量词

3.1 定义

短语"存在一个”、“至少有一个"在逻辑中通常称为存在量词，用”$\exists$“表示,

存在量词命题: 含有存在量词的命题称为存在量词命题. “存在 $M$ 中的一个 $x$, 使 $p(x)$ 成立”, 记作 $\exists x\in M,p(x)$.

3.2 示例

至少有一个质数是偶数: $\exists x>0,x^2-2x+3<0.$