不等式

1 两个不等式

• 重要不等式：$a^2 + b^2 \geq 2ab \ (a,b \in \mathbb R)$
• 基本不等式：$\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2} \ (a,b > 0)$ 基本不等式表明，两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

2 基本不等式与最值

• 如果积$xy$等于定值$P$，那么当$x＝y$时，和$x＋y$有最小值$2\sqrt{P}$；
• 如果和$x＋y$等于定值$S$，那么当$x＝y$时，积$xy$有最大值$\frac{S^2}{4}$.

3 不等式链

$$ \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \ (a,b > 0) $$